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Théorie du portefeuille: aversion au risque

Daniel Bernouilli à démontré que les investisseurs ont une aversion au risque, ils ne prendront plus de risques qu'en échange d'un rendement plus élevé. L'équilibre risque/rendement est donc la clé de l'investissement.


L'aversion au risque est un comportement économique selon lequel une personne ne souhaitant pas courir un risque sera prête à transférer ce risque à un tiers moyennant une rémunération, ou refusera de courir un risque qui lui semble excessif. En revanche, cette personne pourrait être prête à prendre ce risque en échange d'une rémunération plus importante: la prime de risque.

L'origine du principe économique de l'aversion au risque: Daniel Bernouilli.

Les origines de la théorie de l'aversion au risques reviennent à Daniel Bernouilli, médecin physicien et mathématicien suisse du 18eme siècle connu notamment pour le théorème fondamental de la mécanique des fluides qui porte son nom: le théorème de Bernouilli.

Il a travaillé sur des outils mathématiques tels que les équations différentielles ou les séries et a décrit le Paradoxe de Saint-Petersbourg qui lui a permit de créer la notion d'utilité.

Le paradoxe de Saint-Petersbourg:

La famille Bernouilli fut très prolifique en mathématiciens, en effet, le paradoxe de Saint-Petersbourg a été tout d'abord énoncé par Nicolas Bernouilli, le cousin de Daniel Bernouilli puis repris et modifié par ce dernier dans « Les transactions de l'académie de Saint-Petersbourg ». Le paradoxe de Saint-Petersbourg tient donc son nom de ce document.

Le paradoxe de Saint-Petersbourg tant à prouver que le fait de faire un choix plutôt qu'un autre et plus lié aux conséquences de ce choix qu'à la probabilité qu'il arrive.

Pour simplifier, une personne préférera par exemple miser 10 euros pour avoir une chance sur deux d'en gagner 20 plutôt que miser 100 euros pour avoir une chance sur deux d'en gagner 200.
Les probabilités de gagner sont pourtant les mêmes, mais l'utilité du gain (ou de la perte) est différente.

Les règles du paradoxe de Saint-Petersbourg:

Les règles du paradoxe de Saint-Petersbourg sont les suivantes: On considère un joueur et le casino.

- Le croupier lance une pièce de monnaie.

- Tant que cette pièce de monnaie tombe sur pile, le croupier la relance.

- Quand la pièce tombe sur face, le jeu est fini et le joueur obtient une mise correspondant à 2 nombre de pile

Donc:

Si le jeu dure 1 lancer, le joueur obtient 2 euros

Si le jeu dure 2 lancers, le joueur obtient 4 euros

Si le jeu dure 3 lancers, le joueur obtient 8 euros

et ainsi de suite...

La question est de savoir quelle est la mise équitable, c'est à dire la mise qui fait que ni le joueur ni la banque ne sont avantagés.

Le calcul du paradoxe de Saint-Petersbourg.

Pour calculer la mise équitable du paradoxe de saint-Petersbourg, il nous faut calculer le gain moyen du joueur au cours d'une partie.

Si la pièce tombe sur face au premier lancer, le joueur gagne 2 euros
La probabilité que cela se produise est ½ et donc une espérance (cf partie mathématiques) de ½ x 2 = 1

Si la pièce tombe sur face au second lancer, le joueur gagne 4 euros
La probabilité que cela se produise est ½ x ½ = ¼ et donc une espérance (cf partie mathématiques) de 1/4 x 4 = 1

On peut continuer comme cela jusqu'à l'infini.
On obtiendra une probabilité de gagner au lancer n égale à ½ n et un gain de 2 n euros.

L'espérance du lancer n sera de ½ x n x 2n soit 1.

Pour calculer le gain moyen d'un joueur au cours de la partie, il nous faut donc additionner toutes les espérances de chaque lancer. On additionne donc une suite de 1, ce qui nous donne un résultat infini.

Pour que le jeu du paradoxe de Saint-Petersbourg soit équitable, il faut donc miser une infinité d'euros. C'est la tout le coeur du paradoxe.

Implémentation du paradoxe:

Vous pouvez tenter de gagner contre le Casino avec une mise départ de 20 euros.
Notez que Si vous jouez à l'infini, le jeu est équitable
(les '0' indiquent les parties gagnées et la 'X' le moment ou face arrive)
  Joueur Casino
Gains de la partie
Gains total
 
Jouer Recommencer (remise à 0)

Le paradoxe de Saint-Petersbourg, résumé

Le paradoxe de Saint-Petersbourg montre que si l'on mise une somme infinie, on peut gagner une somme qui est aussi infinie. Pourtant, rare sont ceux qui accepteraient de jouer a ce jeu. Il y a donc une aversion au risque: le joueur a peur de perdre bien qu'il soit théoriquement certain de gagner s'il mise à l'infini.

Cette aversion au risque nous amène à la notion d'utilité: Les personnes évaluent la valeur de l'argent en fonction de l'utilité qu'elles en tirent.



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